APPOINTMENT, ENGAGEMENT, DATE

Appointment es una cita y casi siempre se entiende que es formal, de negocios, de asunto serio: I have an appointment with my teacher, tengo una reunión con mi profesor. 

Engagement también es formal, más si cabe. I have an angagement this evening, tengo una cita esta tarde.

Por date damos a entender que la cita es más de diversión o romántica incluso. I have an appointment with my dentist at eight and then I have a date with her at ten. En el primer caso nos va a arreglar los dientes, en el segundo vamos a bailar y luego lo que se tercie.